关于数学归纳法的一个问题

命题An：“若a,b是任意两个使max(a,b)=n的任意两个正整数,则a=b.”

证明：（1）设a,b是任意两个使max(a,b)=r+1的正整数.考虑两个整数α=a-1,β=b-1.则max(α,β)=r,又由于假设Ar成立,因此α=β,由此知a=b.因此Ar+1成立.

（2）A1显然成立.因为若max(a,b)=1,则由于a,b是正整数,所以都必须等于1.

因此按数学归纳法,An对任意的n成立.

现在如果a和b是两个不管什么样的正整数,用r表示max(a,b),由于已证明了对任意的n,An是成立的.特别是Ar是成立的,因此a=b.

很明显命题出错了。请找出以上证明的错误。

PS：网不给力。一直没能把问题说清楚。抱歉。