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如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC、BD交于点P,且AB=BD,AP=4PC=4,则cos∠ACB的值是______.
更新时间:2024-04-28 11:16:46
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问题描述:

如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC、BD交于点P,且AB=BD,AP=4PC=4,则cos∠ACB的值是______.

黄英杰回答:
  作BE⊥AD于E,交AC于O,则BE∥CD,   由AB=BD得E是AD的中点,因此OE是△ACD的一条中位线,从而O是AC的中点,   以O为圆心,OA为半径作圆,则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点,   易知AP=4,PC=1,AC=AP+PC=5,   因此,OA=OC=2.5.OP=OC-PC=1.5,   由BE∥CD得,BP:PD=OP:PC=1.5,   因此BP=1.5PD,从而AB=BD=BP+PD=2.5PD,   由相交弦定理得BP•PD=AP•PC=4,   即1.5PD2=4,   因此PD2=83
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